Archivo de la categoría: Diseño gráfico

Aplicaciones geométricas en la estructura. (2)

Rectángulos dinámicos.

 Rectángulos dinámicos con sección dorada.

“Todos los rectángulos pueden dividirse en dos categorías: rectángulos estáticos, con razones de fracciones racionales como ½ , 2/3 , 3/3 , ¾ , etc., y rectángulos dinámicos, con razones de fracciones irracionales, como  ,  , ,  Φ (sección dorada), etc. Los rectángulos estáticos  no producen series de razones visualmente agradables de las superficies cuando se subdividen. Las subdivisiones se anticipan y son regulares sin muchas variación. Sin embargo, los rectángulos dinámicos producen un número infinito de subdivisiones armónicas y razones de superficie agradables a la vista, cuando se subdividen, porque sus razones son números irracionales.

El proceso para subdividir un rectángulo dinámico en una serie de subdivisiones armónicas es muy simple. Se pulsan las diagonales de esquinas opuestas y entonces se construye una red de líneas perpendiculares y paralelas a los lados de las diagonales.Elam, Kimberly; Geometría del diseño.

“(…) Además de las proporciones que utilizaban números <simples> 3:2, 4:5, 5:8 y producían rectángulos estáticos, había proporciones que introducían números <irracionales> y producían rectángulos dinámicos  ,  , , que permitían un tratamiento mucho más variado en la división de áreas interrelacionadas. Una proporción conocida como la sección aúrea fue muy utilizada por los griegos y los artistas del renacimiento y se convirtió en un canon establecido a proporción en las últimas academias. Su característica particular radica en el hecho de que produce un número de áreas íntegramente relacionadas; su carácter es tal que la proporción entre la mayor y la menor cantidad mensurable es igual a la proporción entre la suma de las dos y la mayor, ( Es decir, en una línea dividida de esta forma la longitud total dividida por la parte mayor es igual a la parte dividida por la menor). La figura Muestra como producir un rectángulo de sección área. ABCD= cuadrado.” Arheim, Rudolph, Arte y percepción visual.

11_eg_rectangulosac_mimente

 

“Rectángulos dinámicos de raíz cuadrada.

De manera similar al rectángulo con sección dorada, los rectángulos con raíz cuadrada se conocen como rectángulos dinámicos, porque ambos producen una variedad de subdivisiones y combinaciones armónicas que están siempre relacionadas con las proporciones del rectángulo original. El proceso de subdivisión armónica consiste en dibujar diagonales y después dibujar una red de líneas paralelas y perpendiculares. El rectángulo de raíz cuadrada siempre se subdividirá en un número igual de recíprocos.

 

Construcción de rectángulos con raíz cuadrada.

Los rectángulos con raíz cuadrada poseen la propiedad especial de poder ser subdivididos ilimitadamente en rectángulos proporcionales menores. Esto significa que cuando un rectángulo de raíz cuadrada se divide a la mitad, el resultado serán dos rectángulos menores de raíz cuadrada, cuando se dividen en cuartos, el resultado será cuatro rectángulos de raíz cuadrada, etc.

 

Construcción de un rectángulo de raíz cuadrada, método cuadrado.

1- Inicie con un cuadrado.

2- Dibuje una línea diagonal dentro del cuadrado. Use la diagonal como un arco que toque la línea de la base del cuadrado. Encierre el rectángulo alrededor de la nueva figura. Este es un cuadrado de raíz cuadrada.

11_eg_const_raizcuadrada_mimente

 

Subdivisión de raíz cuadrada.

1- El rectángulo de raíz cuadrada puede ser subdividido en rectángulos menores a la raíz cuadrada. Divida el rectángulo a la mitad mediante una diagonal creando dos rectángulos menores. Nuevamente divida las mitades en dos pequeños rectángulos con raíz cuadrada.

2- Este proceso puede repetirse ilimitadamente para crear una serie infinita de rectángulos con raíz cuadrada.

11_eg_subdiv_cua_raizcua_mimente

 

Construcción de rectángulo con raíz cuadrada, método del círculo.

1- Otro método para construir un rectángulo con raíz cuadrada es empezando con un círculo, inscriba una cuadrado en el.

2-Extiende los dos lados opuestos del cuadrado para que toquen el circulo. El rectángulo resultante es un rectángulo de raíz cuadrada.

11_eg_cons_raizcua_conscirc_mimente

 

Raíz cuadrada espiral decreciente.

1- Una raíz cuadrada de espiral decreciente puede crearse pulsando y conectando diagonales en los rectángulos recíprocos de raíz cuadrada.

11_eg_raizcua_espiraldecre_mimente

 

Raíz cuadrada de relaciones proporcionales.

1- Subdividiendo un rectángulo de raíz cuadrada continuamente se producen rectángulos proporcionales menores de raíz cuadrada.

11_eg_raizcua_relpropmimente

 

Rectángulo con raíz cúbica.

Así como el rectángulo con raíz cuadrada puede dividirse en otros rectángulos similares, también pueden dividirse los rectángulos con raíces cúbica pueden subdividirse en tres rectángulos verticales de raíz cúbica;  y estos, a su vez pueden subdividirse en tres rectángulos cúbicos horizontales, etc.

Los rectángulos cúbicos tienen la propiedad de permitir la construcción de un prisma regular hexagonal. Este hexágono puede encontrar su forma en los cristales de los copos de nieve, panales y muchas otras facetas del mundo natural.

 

Construcción de rectángulo de raíz cúbica.

1- inicie con un rectángulo de raíz cuadrada.

2- Dibuje una diagonal dentro del rectángulo de raíz cuadrad. Use la diagonal como un arco que toca la línea base del cuadrado. Este es un rectángulo cúbico.

11_eg_cons_raizcubica_mimente

 

Subdivisión de raíz cúbica

Un rectángulo de raíz cúbica puede subdividirse en rectángulos menores cúbicos. Se divide el rectángulo en tercios para crear tres rectángulos menores. Nuevamente se dividen los tercios en rectángulos cúbicos más pequeños. Este proceso se repite ilimitadamente para crear una serie infinita de rectángulos cúbicos.

11_eg_subdiv_raizcubica_mimente

 

Construcción de un hexágono.

Un hexágono puede construirse a partir de un rectángulo cúbico. Esto se hace notando por el eje del centro para que las esquinas se encuentren.

11_eg_cons_hexagono_mimente

 

Construcción de rectángulos de raíz cuarta.

1- Inicie con un rectángulo de raíz cúbica.

2- Dibuje una diagonal dentro del rectángulo de raíz cúbica. Use la diagonal como un arco que toque la línea base del cuadrado. Incluya un rectángulo alrededor de la nueva figura. Este es un rectángulo de raíz cuarta.

11_eg_cons_raizcuarta_mimente

 

Subdivision de raíz cuarta

El rectángulo de raíz cuarta puede subdividirse en rectángulos menores de raíz cuarta. Se divide el rectángulo en cuartos, creando cuatro rectángulos menores. Nuevamente se dividen los cuartos en rectángulos menores de raíz cuarta, este proceso puede repetirse ilimitadamente para crear u a serie infinita de rectángulos de raíz cuarta.

11_eg_subdiv_raizcuarta_mimente

 

Construcción del rectángulo de raíz quinta

1- Empiece con un rectángulo de raíz cuarta.

2- Dibuje un alinea diagonal dentro del rectángulo de raíz cuarta. Use la diagonal como un arco que toque la línea base del cuadrado. Incluya un rectángulo alrededor de la nueva figura. Este es un rectángulo de raíz quinta.

11_eg_cons_raizquinta_mimente

 

Subdivisiones de raíz quinta.

El rectángulo de raíz quinta puede dividirse en rectángulos menores de raíz quinta. Se divide el rectángulo en quintos para crear rectángulos menores.

Nuevamente se dividen los quintos en pequeños rectángulos de raíz quinta. Este proceso puede repetirse ilimitadamente para una serie infinita de rectángulo de raíz quinta.

11_eg_subdiv_raizquinta_mimente

 

Método de construcción para un cuadrado de raíz quinta.

1- Empiece con un cuadrado. Trace un arco desde el centro del fondo del cuadrado y extiéndalo para incluir los arcos de ambos lados.

2- Los pequeños rectángulos a cada lado del cuadrado son rectángulos dorados, y uno de los pequeños rectángulos y el cuadrado central forman un rectángulo dorado.

Ambos rectángulos dorados y el cuadrado son de la forma de una raíz quinta.

 

Comparación de rectángulos con raíces diferentes.

11_eg_comparacionrectangulos_mimente

“Elam, Kimberly; Geometría del diseño.

 

Rectángulo de raíz de cinco

Ahora bien, volvamos durante un instante al cuadrado en el semicírculo. Si completamos un rectángulo sobre todo el diámetro utilizando el lado del cuadrado para el ancho, obtenemos una nueva forma dinámica. Está constituida por un cuadrado flaqueando por dos rectángulos de sección de oro, pero posee propiedades especiales. Si trazamos la diagonal de esta configuración y una línea perpendicular a ella desde uno de los ángulos, tendremos líneas reguladores para su división dinámica. Si prolongamos la línea más corta, se convertirá en la diagonal de un rectángulo similar que representa un quinto del área total.

Podemos  seguir adelante con este desarrollo, subdividiendo la configuración en áreas similares sin dejar nada excluido. Puesto que esta configuración incluye tanto el cuadrado como el rectángulo de sección de oro, las relaciones entre las subdivisiones son muy estrechas.

A pesar de la autoridad que respalda estos dos enfoques de la proporción geométrica, me atrevería a sugerir que la idea más fructífera que encierran es la raíz intrínseca entre los lados y las diagonales de las configuraciones rectangulares. El fundamento de ello es el teorema de Euclides, el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a al suma de los cuadrados de los catetos. Esto es siempre cierto, cualquiera sea la configuración del triángulo. En otras palabras, siempre existe una razón fija entre estas tres magnitudes. Aplicándolo al análisis geométrico, ello significa que siempre podemos repetir razones en las figuras rectangulares empleando diagonales paralelas y perpendiculares. Es verdad que las otras figuras que no son rectangulares de sección de oro o de raíz de cinco no se subdividen con la completa repetición rítmica que manifiestan está dos figuras. Por otra parte, hay muchas situaciones en las que no es posible aplicar el principio más general de análisis.

11_eg_teorema-d-eeuclidas_mimente

Consideremos sus virtudes. En primer lugar, dada una configuración rectangular cualquiera, podemos repetir la razón entre sus lados trazando líneas paralelas a los lados adyacentes que se corten sobre la diagonal. De tal manera, pueden construirse figuras más pequeñas dentro del rectángulo. Prolongando la diagonal, es posible formar sobre ella figuras más grandes. Ello asegura que las configuraciones serán similares, y repetirán la razón original. No establece ninguna razón proporcionada entre las áreas. Por otra parte; si transportamos la longitud de uno de los lados a través de la diagonal, la relación intrínseca entre lados y diagonal nos dará áreas con razones relacionadas. Este principio puede repetirse infinito número de veces.

11_eg_rectsimi_proprdiag_mimente

La misma idea puede aplicarse a triángulos, sean éstos rectángulos o no. Por otro teorema, todos los triángulos con ángulos iguales son similares en cuanto a su configuración. Por consiguiente, dado un triángulo, podemos construir otros similares trazando líneas paralelas a los lados. Las áreas relacionadas surgirán al cortar el lado mayor con la longitud de cualquiera de los otros lados y al completar la figura desde este punto.

11_eg_triangulos_mimente

Tal recurso nos permite transponer cualquier razón lineal a magnitudes mayores o menores. Tomemos u n problema familiar pero difícil: dividir una línea en tres partes iguales. Supongamos, además, que no podemos utilizar el escalímetro. El diagrama es mucho más claro que la descripción y podrán ver fácilmente el principio. Resulta muy útil, por ejemplo, al calcular la escala para un layout a reproducir. Sus posibilidades para obtener razones os elementos de una composición resultan obvias.

Una segunda virtud es la manera en que es posible desarrollar cualquier forma rectangular para obtener configuraciones similares que expresan la misma razón. El procedimiento práctico es simple, solo debemos recordar que los rectángulos con lados paralelos serán proporcionales si sus diagonales son paralelas o bien forman ángulo recto entre sí. En la ilustración se analiza el layout de una página de revista Vogue. Aquí la razón básica se determinó según el tamaño y la configuración de la página, lo cual es característico de las limitaciones con que no enfrentamos habitualmente y que reducen la utilidad de los rectángulos dinámicos. No describiré el análisis ya que resulta más claro en la ilustración. Lo que deseo destacar es la flexibilidad del método: puede aplicarse eficazmente allí donde ni la pura regulación geométrica ni la simetría dinámica ortodoxa resultan útiles. Gillam Scott, Robert; Fundamentos del Diseño. 

Aplicaciones geométricas en la estructura. (1)

Aplicaciones geométricas en la estructura.

Sección aurea.

Dentro del entorno creado por el hombre y el mundo natural existe una preferencia cognoscitiva por las proporciones de la sección dorada a través de la historia. Las primeras evidencias del uso del rectángulo de la sección dorada, con una proporción de 1:1.618, se encuentran documentadas en la arquitectura de Stonhenge de los siglos XX y XVI a. C. Una mayor evidencia se encuentra en la escritura, arte y arquitectura de la antigua grecia en el siglo V a. C. Posteriormente los artistas y arquitectos del Renacimiento estudiaron y emplearon las proporciones del rectángulo dorado en importantes trabajos de escultura, pintura y arquitectura. Además de encontrarse en trabajos hechos por la mano del hombre, la sección del rectángulo dorado también puede encontrarse ene el mundo natural, a través de las proporciones humanas y los patrones de crecimiento de muchas plantas, animales y también insectos.  Elam, Kimberly; Geometría del diseño.

Proporción y naturaleza.

El poder de la sección dorada para crear armonía parte de la capacidad para unir diferentes partes de un todo conservando su propia identidad, mezclando además dentro de un todo. GYÖRGY DOCZI, el poder de los límites.

“Las preferencias de la sección dorada no se limitan a la estética humana, son también parte importante de las relaciones éntrelas proporciones y patrones de crecimiento de seres vivos, como plantas y animales.

El contorno espiral de las conchas revela un patrón acumulativo de crecimiento que ha sido tema de muchos estudios científicos y artísticos. Los patrones de crecimiento de las conchas constituyen espirales logarítmicas de las proporciones de la sección dorada, lo que se conoce como la teoría del patrón perfecto de crecimiento.

En cada fase de crecimiento, caracterizada por una espiral, la nueva espiral es muy cercana a la proporción de una mayor sección dorada a la previa. Los patrones de crecimiento del nautilus y otras conchas nunca son proporciones exactas a la sección dorada, sino un intento en el patrón de crecimiento biológico proporcional que se acerca, pero que no alcanza las proporciones exactas de la sección dorada.

La estrella del pentágono y el pentagrama comparten también proporciones de la sección dorada, asimismo, puede observarse en organismos vivos como el dólar de arena. Las subdivisiones internas del pentágono crean la estrella del pentagrama y la razón entre cada par de líneas dentro de una estrella del pentagrama es la dimensión de la sección dorada en una proporción de 1:1.618.

Los patrones de crecimiento en una espiral de la conífera de un pino y del girasol comparten patrones similares de crecimiento. Las semillas de cada uno crecen a lo largo de dos espirales en intersección moviéndose en direcciones opuestas, y cada semilla pertenece a ambos juegos de espirales intersecadas. Al examinar las espirales de la semilla   de una conífera, ocho de las espirales se mueven en dirección de las manecillas del reloj y 13 en dirección opuesta a éstas, acercándose a las proporciones de la sección dorada. En el caso de las espirales del girasol hay 21 espirales en dirección de las manecillas del reloj y 34 espirales en contra, que nuevamente se aproximan a las proporciones de la sección dorada.

Los números 8 y 13, como se encuentran en la espiral de una conífera, y las 21 y 34 encontradas en la espiral del girasol, son muy familiares para los matemáticos. Ellas son pares adyacentes de la progresión matemática denominada de Fibonacci.

Cada número en la progresión está determinado por la suma de los dos anteriores: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55… La razón de los números adyacentes en la progresión se aproxima a las proporciones de la sección dorada de 1:1.618

Muchos peces comparten también las relaciones de la sección dorada. Tres  secciones doradas colocadas sobre el cuerpo de la trucha arco iris muestran las relaciones del ojo y la cola en la recíproca de los rectángulos y cuadrado de la sección dorada. Además, las alertas individuales tienen también proporciones de la sección dorada. El pez azul de ángulo encaja perfectamente en un rectángulo de la sección dorada, respecto a la altura de su cuerpo.

Quizá una parte de la fascinación humana con el ambiente natural y los seres vivos, como conchas, flores y peces se deba a nuestra preferencia subconsciente por los patrones y o perfiles de la sección dorada.” Elam, Kimberly; Geometría del diseño.

 

Rectángulo de la sección aurea.

El rectángulo de la sección dorada es una razón de la divina proporción, que se deriva de la división de una línea en dos segmentos, de manera que esa razón el todo del segmento, AB respecto a la parte más larga AC, respecto a la parte más corta CB, Esto da una razón aproximadamente de 1.61803 a 1, que s expresa también como

El rectángulo de la sección dorada es único, ya que cuando es dividido por su reciproca es una parte proporcional menor y el área que permanece después de la subdivisión es un cuadrado, el rectángulo de la sección dorada es conocido como el rectángulo cuadrado gigante. Los cuadrados proporcionalmente decrecientes pueden producir una espiral utilizando un radio del largo de uno de los lados del cuadrado.

    • Empiece con un cuadrado.

 

  • Dibuje una diagonal desde el punto A de uno de los lados a una esquina opuesta B. Esta diagonal será el radio de un arco que se extiende más allá del cuadrado C. El rectángulo menor y el cuadrado son un rectángulo de la sección dorada.
  • El rectángulo de la sección dorada puede ser subdividido. Cuando el rectángulo subdividido produce un rectángulo menor proporcional a la sección dorada, el cual es su reciproco, un área del cuadrado permanece después de la subdivisión. Esta área cuadrada se llama gnomon.
  • El proceso de subdivisión puede continuar indefinidamente, produciendo rectángulos y cuadrados proporcionales más pequeños. 

11_eg_sa_mimente

 

Rectángulo de sección dorada método de construcción triangular.

  1. Empiece con un triángulo recto cuyos lados estén en proporción 1:2. Dibuje un arco desde D usando DA como radio, hasta que cruce la hipotenusa.
  2. Dibuje otro arco a lo largo de la hipotenusa desde C usando Ce como radio para intersecar la línea de la base.
  3. Desde punto B donde el arco intersecta la línea de la base dibuje ina línea vertical que toque la hipotenusa.
  4. Este método produce las proporciones de la sección dorada mediante la definición del largo de los lados del rectángulo AB y BC. La subdivisión del triángulo de los lados del rectángulo en una proporción de la sección dorada, debido a que la razón AB y BC es una sección dorada con una razón 1:1.618.

 11_eg_sb_mimente

 

Rectángulo de sección de oro.

Si utilizamos la diagonal de un medio cuadrado como lado, y circunscribimos medio circulo en el cuadrado, aparece un grupo muy interesante de razones. El segmento del diámetro que queda fuera del cuadrado y la base del mismo estarán en razón extrema y media, A:B::B:AB. Si completamos un rectángulo sobre esa línea base, consistirá en un cuadrado y otro rectángulo similar al original. Los lados de estas figuras se encuentran en proporción extrema y media, A:B::B:C, siendo C igual AB. El término “cuadrado giratorio” proviene del ulterior desarrollo de esta configuración. Si trazamos la diagonal principal y una línea perpendicular a aquella desde un ángulo, obtenemos líneas reguladoras para dividir la figura en una secuencia infinita de cuadrados progresivamente menores y áreas rectangulares similares. Los cuadrados giran alrededor del cruce de las dos diagonales. Si en cada cuadrado se trazan arcos regulares, utilizando un ángulo como un centro y un lado como radio, al girar en cada cuadro se unirán para formar una verdadera espiral logarítmica. El efecto de la repetición de la misma razón extrema y media, entrelazando la configuración original y todas sus subdivisiones sin excepción, justifica la denominación de forma dinámica.

 

Proporciones de la sección dorada.

Las divisiones y proporciones del método triangular para construir la sección dorada produce los lados de un rectángulo de la sección dorada, además, el método puede producir una serie de círculos o cuadrados que estén en proporción con la sección dorada de cada uno, como en los ejemplos de las figuras. Elam, Kimberly; Geometría del diseño.

 

La sección dorada y la serie de Fibonacci.

Las propiedades especiales de las proporciones de la sección dorada tienen relación cercana con la progresión de números denominada serie de Fibonacci, llamada así por Leonardo de Pisa, quien la introdujo a Europa hace unos 800 años junto con el sistema decimal. Esta secuencia de números (1,1,2,3,5,8,13,21,34…) se calcula añadiendo los dos números anteriores para producir un tercero. Por ejemplo, 1+1=2, 1+2=3, 2+3=5, etc. El patrón proporcional de este sistema es muy cercano al sistema proporcional de la sección dorada. Los primeros números de la serie empiezan acercándose a la sección dorada; cualquier número más allá del quinceavo en la serie cuando es dividido entre el número siguiente se aproxima a 0.618 y cualquier número dividido por el número anterior se aproxima a 1.618. Elam, Kimberly; Geometría del diseño.

 

Triángulo y elipse de la sección dorada.

El triángulo de la sección dorada es un triángulo isósceles, de dos lados iguales conocido también como el triángulo “sublime”, ya que tiene proporciones estéticas similares al rectángulo de la sección dorada, es el triángulo preferido por la mayor de la gente. Se construye fácilmente a partir de un pentágono y tendrá un ángulo de 36° en el vértice y ángulos de 72° en la base. Esta construcción puede dividirse en otro triángulo dorado si se conecta el ángulo de la base al triángulo mayor de un vértice del pentágono del lado opuesto. Una conexión continua de los vértices con las diagonales resultará en la estrella del pentagrama. El decágono, un polígono de 10 lados, también dará una serie de triángulos dorados mediante la conexión del punto central con cualquier par de vértices adyacentes. Elam, Kimberly; Geometría del diseño.

La elipse dorada también ha demostrado poseer características estéticas similares al rectángulo de la sección dorada. Como el rectángulo, tiene la proporción entre el eje mayor y el menor de 1:1.618. Elam, Kimberly; Geometría del diseño.

 11_eg_sdfibonacci_mimente

 

Triángulo de sección dorada construido con un pentágono.

Empiece con un pentágono. Conecte los ángulos de la base del pentágono con su vértice. Esto resultará en un triángulo con sección dorada con ángulos en la base 72° y un vértice de 36°. Elam, Kimberly; Geometría del diseño.

Triángulo de sección dorada secundaria construido a partir de un pentágono.

La construcción del pentágono también dará triángulos secundarios con sección dorada. Conecte el ángulo de la base con un vértice en el lado opuesto. Elam, Kimberly; Geometría del diseño.

11_eg_triangulo_mimente

 

Triángulo de sección dorada construido con un decágono.

Empiece con un decágono, polígono de diez lados. Conecte cualquier par de vértices adyacentes al centro para obtener un rectángulo con la sección dorada. Elam, Kimberly; Geometría del diseño.

11_eg_triangulodeca_mimente

 

Proporción de la sección dorada con la estrella del pentagrama.

La estrella de cinco puntas creada por diagonales de un pentágono rectangular es una estrella del pentagrama, cuya parte central es parte de otro pentágono, etc. La progresión de pentágono y pentagramas pequeños se conoce como un laúd de Pitágoras, por la relación con la sección dorada. Elam, Kimberly; Geometría del diseño.

11_eg_pentagono_mimente

 

Espiral de sección dorada creada con triángulos de sección dorada.

Un triángulo de sección dorada puede ser subdividido en series de menores triángulos pulsando un nuevo ángulo de 36° desde el ángulo base. La espiral se crea al usar el largo de los lados de los triángulos de las subdivisiones como el radio de un círculo. Elam, Kimberly; Geometría del diseño.