Aplicaciones geométricas en la estructura. (1)

Aplicaciones geométricas en la estructura.

Sección aurea.

Dentro del entorno creado por el hombre y el mundo natural existe una preferencia cognoscitiva por las proporciones de la sección dorada a través de la historia. Las primeras evidencias del uso del rectángulo de la sección dorada, con una proporción de 1:1.618, se encuentran documentadas en la arquitectura de Stonhenge de los siglos XX y XVI a. C. Una mayor evidencia se encuentra en la escritura, arte y arquitectura de la antigua grecia en el siglo V a. C. Posteriormente los artistas y arquitectos del Renacimiento estudiaron y emplearon las proporciones del rectángulo dorado en importantes trabajos de escultura, pintura y arquitectura. Además de encontrarse en trabajos hechos por la mano del hombre, la sección del rectángulo dorado también puede encontrarse ene el mundo natural, a través de las proporciones humanas y los patrones de crecimiento de muchas plantas, animales y también insectos.  Elam, Kimberly; Geometría del diseño.

Proporción y naturaleza.

El poder de la sección dorada para crear armonía parte de la capacidad para unir diferentes partes de un todo conservando su propia identidad, mezclando además dentro de un todo. GYÖRGY DOCZI, el poder de los límites.

“Las preferencias de la sección dorada no se limitan a la estética humana, son también parte importante de las relaciones éntrelas proporciones y patrones de crecimiento de seres vivos, como plantas y animales.

El contorno espiral de las conchas revela un patrón acumulativo de crecimiento que ha sido tema de muchos estudios científicos y artísticos. Los patrones de crecimiento de las conchas constituyen espirales logarítmicas de las proporciones de la sección dorada, lo que se conoce como la teoría del patrón perfecto de crecimiento.

En cada fase de crecimiento, caracterizada por una espiral, la nueva espiral es muy cercana a la proporción de una mayor sección dorada a la previa. Los patrones de crecimiento del nautilus y otras conchas nunca son proporciones exactas a la sección dorada, sino un intento en el patrón de crecimiento biológico proporcional que se acerca, pero que no alcanza las proporciones exactas de la sección dorada.

La estrella del pentágono y el pentagrama comparten también proporciones de la sección dorada, asimismo, puede observarse en organismos vivos como el dólar de arena. Las subdivisiones internas del pentágono crean la estrella del pentagrama y la razón entre cada par de líneas dentro de una estrella del pentagrama es la dimensión de la sección dorada en una proporción de 1:1.618.

Los patrones de crecimiento en una espiral de la conífera de un pino y del girasol comparten patrones similares de crecimiento. Las semillas de cada uno crecen a lo largo de dos espirales en intersección moviéndose en direcciones opuestas, y cada semilla pertenece a ambos juegos de espirales intersecadas. Al examinar las espirales de la semilla   de una conífera, ocho de las espirales se mueven en dirección de las manecillas del reloj y 13 en dirección opuesta a éstas, acercándose a las proporciones de la sección dorada. En el caso de las espirales del girasol hay 21 espirales en dirección de las manecillas del reloj y 34 espirales en contra, que nuevamente se aproximan a las proporciones de la sección dorada.

Los números 8 y 13, como se encuentran en la espiral de una conífera, y las 21 y 34 encontradas en la espiral del girasol, son muy familiares para los matemáticos. Ellas son pares adyacentes de la progresión matemática denominada de Fibonacci.

Cada número en la progresión está determinado por la suma de los dos anteriores: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55… La razón de los números adyacentes en la progresión se aproxima a las proporciones de la sección dorada de 1:1.618

Muchos peces comparten también las relaciones de la sección dorada. Tres  secciones doradas colocadas sobre el cuerpo de la trucha arco iris muestran las relaciones del ojo y la cola en la recíproca de los rectángulos y cuadrado de la sección dorada. Además, las alertas individuales tienen también proporciones de la sección dorada. El pez azul de ángulo encaja perfectamente en un rectángulo de la sección dorada, respecto a la altura de su cuerpo.

Quizá una parte de la fascinación humana con el ambiente natural y los seres vivos, como conchas, flores y peces se deba a nuestra preferencia subconsciente por los patrones y o perfiles de la sección dorada.” Elam, Kimberly; Geometría del diseño.

 

Rectángulo de la sección aurea.

El rectángulo de la sección dorada es una razón de la divina proporción, que se deriva de la división de una línea en dos segmentos, de manera que esa razón el todo del segmento, AB respecto a la parte más larga AC, respecto a la parte más corta CB, Esto da una razón aproximadamente de 1.61803 a 1, que s expresa también como

El rectángulo de la sección dorada es único, ya que cuando es dividido por su reciproca es una parte proporcional menor y el área que permanece después de la subdivisión es un cuadrado, el rectángulo de la sección dorada es conocido como el rectángulo cuadrado gigante. Los cuadrados proporcionalmente decrecientes pueden producir una espiral utilizando un radio del largo de uno de los lados del cuadrado.

    • Empiece con un cuadrado.

 

  • Dibuje una diagonal desde el punto A de uno de los lados a una esquina opuesta B. Esta diagonal será el radio de un arco que se extiende más allá del cuadrado C. El rectángulo menor y el cuadrado son un rectángulo de la sección dorada.
  • El rectángulo de la sección dorada puede ser subdividido. Cuando el rectángulo subdividido produce un rectángulo menor proporcional a la sección dorada, el cual es su reciproco, un área del cuadrado permanece después de la subdivisión. Esta área cuadrada se llama gnomon.
  • El proceso de subdivisión puede continuar indefinidamente, produciendo rectángulos y cuadrados proporcionales más pequeños. 

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Rectángulo de sección dorada método de construcción triangular.

  1. Empiece con un triángulo recto cuyos lados estén en proporción 1:2. Dibuje un arco desde D usando DA como radio, hasta que cruce la hipotenusa.
  2. Dibuje otro arco a lo largo de la hipotenusa desde C usando Ce como radio para intersecar la línea de la base.
  3. Desde punto B donde el arco intersecta la línea de la base dibuje ina línea vertical que toque la hipotenusa.
  4. Este método produce las proporciones de la sección dorada mediante la definición del largo de los lados del rectángulo AB y BC. La subdivisión del triángulo de los lados del rectángulo en una proporción de la sección dorada, debido a que la razón AB y BC es una sección dorada con una razón 1:1.618.

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Rectángulo de sección de oro.

Si utilizamos la diagonal de un medio cuadrado como lado, y circunscribimos medio circulo en el cuadrado, aparece un grupo muy interesante de razones. El segmento del diámetro que queda fuera del cuadrado y la base del mismo estarán en razón extrema y media, A:B::B:AB. Si completamos un rectángulo sobre esa línea base, consistirá en un cuadrado y otro rectángulo similar al original. Los lados de estas figuras se encuentran en proporción extrema y media, A:B::B:C, siendo C igual AB. El término “cuadrado giratorio” proviene del ulterior desarrollo de esta configuración. Si trazamos la diagonal principal y una línea perpendicular a aquella desde un ángulo, obtenemos líneas reguladoras para dividir la figura en una secuencia infinita de cuadrados progresivamente menores y áreas rectangulares similares. Los cuadrados giran alrededor del cruce de las dos diagonales. Si en cada cuadrado se trazan arcos regulares, utilizando un ángulo como un centro y un lado como radio, al girar en cada cuadro se unirán para formar una verdadera espiral logarítmica. El efecto de la repetición de la misma razón extrema y media, entrelazando la configuración original y todas sus subdivisiones sin excepción, justifica la denominación de forma dinámica.

 

Proporciones de la sección dorada.

Las divisiones y proporciones del método triangular para construir la sección dorada produce los lados de un rectángulo de la sección dorada, además, el método puede producir una serie de círculos o cuadrados que estén en proporción con la sección dorada de cada uno, como en los ejemplos de las figuras. Elam, Kimberly; Geometría del diseño.

 

La sección dorada y la serie de Fibonacci.

Las propiedades especiales de las proporciones de la sección dorada tienen relación cercana con la progresión de números denominada serie de Fibonacci, llamada así por Leonardo de Pisa, quien la introdujo a Europa hace unos 800 años junto con el sistema decimal. Esta secuencia de números (1,1,2,3,5,8,13,21,34…) se calcula añadiendo los dos números anteriores para producir un tercero. Por ejemplo, 1+1=2, 1+2=3, 2+3=5, etc. El patrón proporcional de este sistema es muy cercano al sistema proporcional de la sección dorada. Los primeros números de la serie empiezan acercándose a la sección dorada; cualquier número más allá del quinceavo en la serie cuando es dividido entre el número siguiente se aproxima a 0.618 y cualquier número dividido por el número anterior se aproxima a 1.618. Elam, Kimberly; Geometría del diseño.

 

Triángulo y elipse de la sección dorada.

El triángulo de la sección dorada es un triángulo isósceles, de dos lados iguales conocido también como el triángulo “sublime”, ya que tiene proporciones estéticas similares al rectángulo de la sección dorada, es el triángulo preferido por la mayor de la gente. Se construye fácilmente a partir de un pentágono y tendrá un ángulo de 36° en el vértice y ángulos de 72° en la base. Esta construcción puede dividirse en otro triángulo dorado si se conecta el ángulo de la base al triángulo mayor de un vértice del pentágono del lado opuesto. Una conexión continua de los vértices con las diagonales resultará en la estrella del pentagrama. El decágono, un polígono de 10 lados, también dará una serie de triángulos dorados mediante la conexión del punto central con cualquier par de vértices adyacentes. Elam, Kimberly; Geometría del diseño.

La elipse dorada también ha demostrado poseer características estéticas similares al rectángulo de la sección dorada. Como el rectángulo, tiene la proporción entre el eje mayor y el menor de 1:1.618. Elam, Kimberly; Geometría del diseño.

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Triángulo de sección dorada construido con un pentágono.

Empiece con un pentágono. Conecte los ángulos de la base del pentágono con su vértice. Esto resultará en un triángulo con sección dorada con ángulos en la base 72° y un vértice de 36°. Elam, Kimberly; Geometría del diseño.

Triángulo de sección dorada secundaria construido a partir de un pentágono.

La construcción del pentágono también dará triángulos secundarios con sección dorada. Conecte el ángulo de la base con un vértice en el lado opuesto. Elam, Kimberly; Geometría del diseño.

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Triángulo de sección dorada construido con un decágono.

Empiece con un decágono, polígono de diez lados. Conecte cualquier par de vértices adyacentes al centro para obtener un rectángulo con la sección dorada. Elam, Kimberly; Geometría del diseño.

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Proporción de la sección dorada con la estrella del pentagrama.

La estrella de cinco puntas creada por diagonales de un pentágono rectangular es una estrella del pentagrama, cuya parte central es parte de otro pentágono, etc. La progresión de pentágono y pentagramas pequeños se conoce como un laúd de Pitágoras, por la relación con la sección dorada. Elam, Kimberly; Geometría del diseño.

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Espiral de sección dorada creada con triángulos de sección dorada.

Un triángulo de sección dorada puede ser subdividido en series de menores triángulos pulsando un nuevo ángulo de 36° desde el ángulo base. La espiral se crea al usar el largo de los lados de los triángulos de las subdivisiones como el radio de un círculo. Elam, Kimberly; Geometría del diseño.

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